面包人哥哥的数论题（雾）

鄙人正在学校摸鱼，面包人就发来了一道魔鬼题（雾），知识背景：

题目

求证：$\mathrm{\forall }n\in E,0_{\mathbb{K}}.n=0_E$

我的证法：

$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{K},\mathrm{\exists }!y\in \mathbb{K}$, $x+y=y+x=0_{\mathbb{K}},y=-x$.

Thus $x+(-x)=0_{\mathbb{K}}$

From which, $0_{\mathbb{K}}.n=(x+(-x)).n=n.x+(-x).n=n.x-n.x$

Since $n\in E,x\in \mathbb{K}$, we may have $n.x\in E$, thus according to the definition, $0_{\mathbb{K}}.n=n.x-n.x=0_E$

但是非常不幸，这个证法是假的。注意到$n.x+(-x).n$，没有定义可以让负号提出。

正解

对于某个$x\in E$, 有

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 0_{\mathbb{K}}.x=(0_{\mathbb{K}}+0_{\mathbb{K}}).x=0_{\mathbb{K}}.x+0_{\mathbb{K}}.x\end{array}$$

所以

$$\begin{array}{}\text{(2)}& 0_{\mathbb{K}}.x=0_{\mathbb{K}}.x+0_{\mathbb{K}}.x\end{array}$$

构造一个式子

$$\begin{array}{}\text{(3)}& 0_{\mathbb{K}}.x-0_{\mathbb{K}}.x=0_{\mathbb{K}}.x-0_{\mathbb{K}}.x\end{array}$$

将上一步中得到的

$$0_{\mathbb{K}}.x=0_{\mathbb{K}}.x+0_{\mathbb{K}}.x$$

代入$(3)$得到

$$\begin{array}{}\text{(4)}& 0_{\mathbb{K}}.x-0_{\mathbb{K}}.x=(0_{\mathbb{K}}.x+0_{\mathbb{K}}.x)-0_{\mathbb{K}}.x\end{array}$$

因为$x\in E,0_{\mathbb{K}}\in \mathbb{K}$，所以$0_{\mathbb{K}}.x\in E$，所以根据$0_E$的定义有

$$0_{\mathbb{K}}.x-0_{\mathbb{K}}.x=0_E$$

代入$(4)$，有

$$0_E=0_{\mathbb{K}}.x+0_E$$

所以$0_{\mathbb{K}}.x=0_E$，得证.