题目

求证：$\forall n \in E, 0_\mathbb K.n = 0_E$

我的证法：

$\forall x \in \mathbb K, \exists !y \in \mathbb K$, $x + y = y + x = 0_\mathbb K, y = -x$.

Thus $x + (-x) = 0 _ \mathbb K$

From which, $0_\mathbb K . n = (x + (-x)).n = n.x + (-x).n = n.x - n.x$

Since $n \in E, x \in \mathbb K$, we may have $n.x \in E$, thus according to the definition, $0_\mathbb K.n = n.x - n.x = 0_E$

但是非常不幸，这个证法是假的。注意到$n.x + (-x).n$，没有定义可以让负号提出。

正解

对于某个$x \in E$, 有

$0_\mathbb K .x = (0_\mathbb K + 0_\mathbb K).x = 0_\mathbb K.x + 0_\mathbb K.x \tag 1$

所以

$0_\mathbb K.x = 0_\mathbb K.x + 0_\mathbb K.x \tag 2$

构造一个式子

$0_\mathbb K.x - 0_\mathbb K.x = 0_\mathbb K.x - 0_\mathbb K.x \tag 3$

将上一步中得到的

$0_\mathbb K.x = 0_\mathbb K.x + 0_\mathbb K.x$

代入$(3)$得到

$0_\mathbb K.x - 0_\mathbb K.x = (0_\mathbb K.x + 0_\mathbb K.x) - 0_\mathbb K.x \tag 4$

因为$x \in E, 0_\mathbb K \in \mathbb K$，所以$0_\mathbb K.x \in E$，所以根据$0_E$的定义有

$0_\mathbb K.x - 0_\mathbb K.x = 0_E$

代入$(4)$，有

$0_E = 0_\mathbb K .x + 0_E$

所以$0_\mathbb K.x = 0_E$，得证.