P1064 金明的预算方案 - 背包问题

题目

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1 \sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1} \times w_{j_1}+v_{j_2} \times w_{j_2}+ \dots +v_{j_k} \times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行，每行三个整数，第 $(i + 1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1 复制

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出 #1 复制

2200

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 3.2 \times 10^4$，$1 \leq m \leq 60$，$0 \leq v_i \leq 10^4$，$1 \leq p_i \leq 5$，$0 \leq q_i \leq m$，答案不超过 $2 \times 10^5$。

题解

这道题可以只枚举主要物品，有五种选择方法：

• 主
• 主 + 副1
• 主 + 副2
• 主 + 副1 + 副2
• 不选

然后其实就是普通的背包问题了（撒花

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxm = 65;
const int maxn = 32005;

int pos[maxm], cnt[maxm], f[maxn];
struct node { int v, p; } a[maxm][3];

int main() {
	int n, m, k = 0;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i ++) {
		int v, p, q; cin >> v >> p >> q;
		if (q == 0) {
			a[++ k][0] = (node) { v, p };
			pos[i] = k;
		} else a[pos[q]][++ cnt[q]] = (node) { v, p };
	}
	for (int i = 1; i <= k; i ++) {
		for (int j = n; j >= a[i][0].v; j --) {
			if (j >= a[i][0].v + a[i][1].v + a[i][2].v)
				f[j] = max(f[j], f[j - (a[i][0].v + a[i][1].v + a[i][2].v)] + a[i][0].v * a[i][0].p + a[i][1].v * a[i][1].p + a[i][2].v * a[i][2].p);
			if (j >= a[i][0].v + a[i][1].v)
				f[j] = max(f[j], f[j - (a[i][0].v + a[i][1].v)] + a[i][0].v * a[i][0].p + a[i][1].v * a[i][1].p);
			if (j >= a[i][0].v + a[i][2].v)
				f[j] = max(f[j], f[j - (a[i][0].v + a[i][2].v)] + a[i][0].v * a[i][0].p + a[i][2].v * a[i][2].p);
			if (j >= a[i][0].v)
				f[j] = max(f[j], f[j - a[i][0].v] + a[i][0].v * a[i][0].p);
		}
	}
	cout << f[n] << endl;
	return 0;
}