gyro永不抽风

ああああああああああああああああおおおおおおおおおおおおおおおお

中值定理笔记

高等数学-高汝熹 4.1 中值定理

  1. 罗尔定理

    • 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续,而再开区间$(a,b)$可导,且在端点处$f(a)=f(b)$,则在区间$(a,b)$内比存在一点$\xi$使得$f’(\xi)=0$。

    • 几何意义:对于$f(x)​$,其需要连续且可导,在这种情况下,其两端点的函数值相等,则在$(a,b)​$上必有一点的切线平行于$x​$轴。

    • 证明:

      对于$f(x)$,设其在开区间$(a,b)$中,可以取到最大值$M$和最小值$m$,有两种情况需要讨论:

    1. $M=m​$时:

      此时最大值和最小值相等,都在同一直线上,说明点$a,b​$之间为一条直线,在这种情况之下,函数上处处导数为0,得证,可以找到$\xi​$使得$f’(\xi)=0​$,此时$\xi​$可以去$(a,b)​$之间的一切实数。

    2. $M\ne m$时:

      我们不妨设$f(a)\ne M,f(\xi)=M​$则可得:

      移项,可得:

      由于连续,可导所以以下极限必定存在:

      通过(1)、(2)两式可对其求单侧极限:

      即:

      得证。

  2. 拉格朗日中值定理

    • 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$连续,在开区间$(a,b)$内可导,则在开区间$(a,b)$内必定存在$\xi$使得:

    ​ 成立。

    • 几何意义:我们可以注意到(6)式可以改写成:

    • 也就是说函数上必定存在一点$\xi$使得$f’(\xi)$等于$a,b$两点的切线斜率,即其平行于此点处的切线。

    • 证明:
      首先,构造函数:

    • 很容易的出结论:$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。也就是说$\varphi(x)$满足罗尔定理的一切条件,即可得式(5)的结论。

      设此点为$\xi$则必有:

      成立,即:

      得证。

    • 拉格朗日中值定理的应用:

      由于(6)式,令$b=x+\Delta x$,$a=x$,所以$\xi$可以被表示为$x+\theta\Delta x$的形式:

      又因为微分表达式:

      所以拉格朗日中值定理给出的表达式就是微分的精确值,当$\Delta x$很小时,误差不大,但是当其变大时,可能产生相当严重的误差。

    • 拉格朗日中值定理的推论:

      • 推论1:

        如果在开区间$(a,b)$内,恒有$f’(x)=0$,则$f(x)$在区间内恒为常数。

        证明:

        设$x_1,x_2\in (a,b)$且$x_1<x_2$,则会有$\xi\in(x_1,x_2)$,使得:

        故有

        由于其对区间内的一切实数都成立,所以其函数值在区间内恒为常数。

      • 推论2:

        如果在开区间$(a,b)$内恒有$f’(x)=g’(x)$成立,则有:

        其中C为常数。

        由此推论可得:如果两函数在开区间内导数值处处相等,则这两个函数在此区间内只差一个常数。

        证明:

        构造函数$\varphi(x)=f(x)-g(x)$,由于$\varphi’(x)=0$在区间内恒成立,所以根据推论2,有:

        所以:

        得证。

  3. 柯西中值定理

    • 若$F(x),f(x)$在闭区间$[a,b]$连续,在开区间$(a,b)$可导,$F’(x)$在区间内均不等于$0$,$F(x)$在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得:

      成立。

    • 几何意义:

      设参数方程:

      表示$(f(a),F(a)),(f(b),F(b))$两点之间的曲线,

      对其进行求导:

      我们可以发现其描述的就是在这条曲线上必有一点$\xi$的切线与这两点的连线平行,其中$\frac {f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$表示的就是两点之间的连线的斜率。

    • 证明:

      在证明之前,有一点值得论述:定理已经给出条件$F’(x)\ne0,x\in (a,b)$我们会发现$F(b)-F(a)$不可以等于$0$,否则$F(a)=F(b)$满足罗尔定理的条件,会得出$F’(x)=0$与原条件矛盾,所以此处不必指明$F(b)-F(a)\ne 0$,只需$F’(x)\ne0,x\in (a,b)$即可。

      首先,构造函数:

      不难看出,与拉格朗日中值定理的证明过程相似,有$\varphi(a)=\varphi(b)=0$。所以满足罗尔定理,可得:有$\xi$存在,使得

      成立,所以得证。

__EOF__
-------------本文结束感谢您的阅读-------------

本文标题:中值定理笔记

文章作者:gyro永不抽风

发布时间:2020年02月28日 - 21:02

最后更新:2020年09月22日 - 20:09

原始链接:http://gyrojeff.moe/2020/02/28/%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%AC%94%E8%AE%B0/

许可协议: 署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际 (CC BY-NC-SA 4.0) 转载请保留原文链接及作者!

真的不买杯奶茶吗?T^T

欢迎关注我的其它发布渠道