AP Calculus - 级数复习

绪论

考试在即，但却还没学完，心中诚惶诚恐，遂，学。

几何级数 - Geometric Series

几何级数的定义

几何级数，又称等比级数：

$$\sum_{n = 0} ^ {\infty} aq^n = a + aq + aq ^2 + \cdots + aq^n + \cdots$$

几何级数的敛散性

根据等比数列前$n$项求和公式，若$|q| ≠ 1$，则部分和为

$$S_n = a + aq + aq ^ 2 + \cdots + aq ^ {n - 1} = \frac {a - aq ^ n}{1 - q}$$

• 当$|q| < 1$时： $$\sum_{n = 0} ^ \infty a q ^ n = \lim _ {n \rightarrow \infty} S_n = \frac {a}{1 - q}$$ 级数收敛
• 当$q = 1$时： $$\lim _ { n \rightarrow \infty } S_n = \lim _ {n \rightarrow \infty} na = \infty$$ 级数发散
• 当$q = -1$时： $$\sum _ { n = 0 } ^ \infty a q ^ n= a - a + a - a + a - \cdots$$ $$S_n = \begin{cases} 0 & n \text { is even} \\ a & n \text { is odd} \end{cases} \Rightarrow \lim _ {n \rightarrow \infty} S_n = DNE$$ 级数发散
• 当$|q| > 1$时： $$\lim _ { n \rightarrow \infty } S_n = \infty$$ 级数发散

综上所述：

• $|q| < 1$时，几何级数$\displaystyle \sum_{n = 0} ^ \infty aq ^ n$收敛，其和为$\displaystyle\frac a {1 - q}$。
• $|q| ≥ 1$时，几何级数$\displaystyle \sum_{n = 0} ^ \infty aq ^ n$发散。

调和级数 - Harmonic Series

调和级数的定义

$$\sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac 1 n = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \cdots$$

调和级数的敛散性

有图像易得：调和级数$\displaystyle \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac 1 n$为广义积分$\displaystyle \int _ 1 ^ \infty\frac 1 x \mathrm dx$的Left-Riemann Sum，且

$$\begin{aligned} \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac 1 n &> \int _ 1 ^ \infty \frac 1 x \mathrm dx \\ &=\ln x \Big |_1 ^ {\infty} \rightarrow \infty \end{aligned}$$

故调和级数发散。

$p$级数 - $p$-Series

$p$级数的定义

$$\sum _ {n = 1} ^ \infty \frac 1 {n ^ p} = 1 + \frac 1 {2 ^ p} + \frac 1 {3 ^ p} + \cdots + \frac 1 {n ^ p} + \cdots, (p > 0)$$

$p$级数的敛散性

• 当$p ≤ 1$时，根据比较审敛法，因为$\displaystyle\frac 1 {n ^ p} ≥ \frac 1 n$，由于调和级数发散，故$p$级数也发散。
• 当$p > 1$时，$p$级数收敛，证明略。

交错级数审敛法 - The Alernating Series Test for Convergence

莱布尼兹判别法：如果交错级数满足条件：

1. $u_n ≥ u_{n + 1}, (n = 1, 2, 3, \cdots)$
2. $\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0$

则交错级数收敛，且其和$S ≤ u_1$，用它前$n$项的部分和$S_n$作为级数的和$S$的近似值时，误差$|S_n - S| ≤ u_{n + 1}$

比值判别法 - Ratio Test for Convergence

设有正项级数$\displaystyle\sum_{n = 1} ^ \infty u_n$，如果$\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n + 1}}{u_n} = l$，则

• 当$l < 1$时，级数收敛
• 当$l > 1$（或$l \rightarrow \infty$）时，级数发散
• 当$l = 1$时，级数可能收敛也可能发散

用泰勒多项式来近似函数

The function $f(x)$ at the point $x = a$ is approximated by a Taylor polynomial $P_n(x)$ of order $n$:

$$f(x) \approx P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac {f''(a)}{2!}(x - a) ^ 2 + \cdots + \frac {f^{(n)}(a)}{n!}(x - a) ^ n$$

麦克劳林多项式就是函数在$x=0$的泰勒展开。

用$f(x)$在$x = 0$的切线去近似：

$$f(x) \approx P_1(x) = f(0) + f'(0) x$$

绝对收敛和条件收敛

1. 若$\displaystyle \sum_{i = 1} ^ \infty u_i$收敛，且$\displaystyle \sum_{i = 1} ^ \infty |u_i|$也收敛，则级数$\displaystyle \sum _ {i = 1} ^ \infty u _ 1$绝对收敛。
2. 若$\displaystyle \sum_{i = 1} ^ \infty u_i$收敛，且$\displaystyle \sum_{i = 1} ^ \infty |u_i|$不收敛，则级数$\displaystyle \sum _ {i = 1} ^ \infty u _ 1$条件收敛。
3. 如果绝对收敛则一定条件收敛，条件收敛不一定绝对收敛。